北京国子监牌楼
中国之一部测算专著
――测绘之最
唐朝长安城的国子监里，书声朗朗。作为中央高等学府的国子监，在开元年间，就学的中国学生和留学生竟然多达8000人，盛极一时。
添加微信好友, 获取更多信息
复制微信号
国子监算学馆里，太史令、算学博士李淳风（602―670，唐代岐州---今陕西岐县人，天文学家、数学家）正在上课：“大海上有座海岛，我们在岸上如何测量海岛的高度呢？哪位监生知道？”。监生们面面相觑。
“这个问题，我们的前辈在500多年前就解决了。巧妙的是他只用了两根测量木杆。”监生们一个个睁大了眼睛望着学识渊博的老师。
“请打开《海岛算经》。”李淳风大声讲。
《海岛算经》是《算经十书》之一。唐代掌管天文测算的太史令李淳风、国子监算学馆算学博士梁述以及助教王真儒，注释并汇编唐代之前算学经典《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》《夏侯阳算经》《张邱建算经》《五经算术》《五曹算经》《缉古算经》《缀术》等10本书，称为《算经十书》。《算经十书》作为唐代国子监的算学教材，纳入科举考试的内容。唐以后历代，都推崇《算经十书》，作为国学的教科书。
《海岛算经》一页
监生们打开书本，李淳风继续讲：“《海岛算经》是三国时期的数学家刘徽所著，实际上是刘徽对《九章算术•勾股章》的注释，原名《重差》，现在我们把它单列，取名《海岛算经》。因为《海岛算经》之一个算例是望测海岛。请翻看之一个算例！”
刘徽及李淳风注释《九章算术》一页
博学多能的李淳风侃侃而谈，从刘徽注释《九章算术》谈起。
魏元帝景元四年（263），魏国灭亡了蜀国。这一年，魏国的学者刘徽（生平不详）完成了对数学名著《九章算术》的注释。注释中不但有他对原著的理解，还有他的许多创见。《九章算术》大约成书于东汉初期，内容分为九章：方田、商功、少广、粟米、衰分、均输、盈不足、方程和勾股。勾股章讲述勾股定理与相似直角三角形解法与应用。《九章算术》为中国古代数学经典之首。
刘徽画像
但是，《九章算术》同我国古代数学经典一样，有一个突出的特点，即以问题集的形式编写，寓一般数学原理于具体算例之中，行文简括，缺乏必要的说明与解释，缺乏系统的理论探讨。《九章算术》所列出的246个算例，因阐述过于简略，造成了在学习与应用中许多误解与困惑。在研读《九章算术》的过程中，刘徽发现了这个问题，立志注释这部数学经典。
魏元帝时期，虽然军阀混战，但是中原地区相对安定，刘徽便躲进书斋，按照“析理以辞，解体用图”的原则对《九章算术》进行研究。他在自序中所说：“事类相推，各有攸归。故枝条虽分，而同本干者，知发其一端而已。”就是说，刘徽试图探求的是具体算例包含的内在逻辑和共同的道理。特别需要指出，刘徽在对勾股章注释过程中，系统地研究了勾股测量理论与 *** （中国古代概称勾股术），另著《重差》一卷，附于《九章算术》之后。重差测量理论与 *** ，为实现直接测量向间接测量的转变提供了依据。
刘徽创造重差测量体系，源于数学家赵爽的日高图的启发。赵爽是三国时期的吴国人，以注释《周髀算经》而闻名。据考证，《周髀算经》记述了西汉及其以前的数学成果，其中以西周数学家商高关于勾股定理的论述以及“用矩之道”最为著名。说明先秦时期，直接测量的勾股术已经广泛应用了。赵爽对勾股定理注释：“勾股各自乘，并之为弦实（面积），开方除之即弦。”并根据勾股术演绎出著名的《日高图》。《日高图》实际上是测量太阳高度的图解，即使用两根表杆（AC、EG）前后观测，目的是构建两个相似直角三角形，并根据直角相似三角形是边角关系和测量数据推算太阳的高度。这种 *** 被称为重差法。重差是两次立杆测量所构建的两个相似直角三角的比例项。
日高图示意
刘徽反复端详着数学家赵爽的《日高图》，心里琢磨着《日高图》隐含着的道理。“用两根表杆就能测量推算出太阳的高度，这太神奇了！赵君真是巧思绝世的才子！”刘徽佩服赵爽使用如此简单的工具和如此简便的测算 *** 就解决了可望而不可及的物体的测算问题。《日高图》使刘徽豁然开朗，他欣然命笔：“凡望极高，测绝深，而兼知其远者，必用重差。勾股必以重差为率，故曰重差也。”重差法是中国古代勾股术的主要内容。而勾股术本质上是中国古代基于直角三角形的三角测量。
刘徽按照赵爽的思路探索下去，发明了重表法、累矩法和连索法，逐步建立起重差测算体系，使得中国古代的勾股术臻于完善。重表法类同日高图揭示的 *** 。刘徽《重差》的之一个 算例“望海岛”采用的就是重表法。
“望海岛”算例图解
“望谷”算例采用了累矩法。累矩法是利用两个上下叠累的偃矩（在矩ABC上叠加和B′A′C′）测量推算出物体的深度（AE），如水井、山谷的深度。“望邑”算例采用了连索法，即在观测中不但使用重表（E、F与人眼同高），而且用测绳将两根表杆连起来，借助绳索进行测量与推算。对这些 *** ，刘徽详细绘制了图解，称为《重差图》（已佚）。他说：“度高者重表，测深者累矩，孤离者三望，离而又旁求者四望，触类而长之，则幽遐诡伏靡所不入。”意思是说，测量高低用重表法，测量深浅用累矩法，测量孤立的目标用多次望测的 *** ，测量复杂的目标需要联合使用这些 *** 。总之，要根据实际情况，活用原则。
累矩法示意图
连锁法示意图
《算经十书》中，有的讲日常生活的计算问题，属于初等数学知识；有的讲复杂的天文计算问题，属于高等数学知识；《海岛算经》讲复杂的间接测量与计算问题，属于中等或高等测算教材。李淳风亲自授课，分多次教授《海岛算经》，最后李淳风强调：“监生们，请你们记住，《海岛算经》是专门讲述测量与计算的著作，可以说是中国的之一部测算专著。”
有监生问：“《周髀算经》《九章算术》也有测量与计算的内容，能算测算专著吗。”
李淳风回答：“《周髀算经》有测量与计算知识，还有丰富的天文学知识，有人认为它是天文学著作；《九章算术》为古代算经的代表，除了测算知识外，更多章节是现实的算术问题；《海岛算经》9个算例都是测量与计算问题，而且归纳与揭示了3类测量 *** 。”李淳风总结道：“从《周髀算经》勾股定理到《九章算术》勾股章，再到《海岛算经》的重差术，勾股测算体系逐步发展，臻于完善，为我们测量困难问题提供了 *** 。应该记住，在构建勾股测量体系上，三国时期的数学家刘徽居功至伟！”
根据作者著《中国测绘教育史》《中国古代测量数学的发展》编写，版权归作者寓公剑所有。
